¿Cómo saber si dos vectores son perpendiculares?

La Teoría Vectorial tiene como base principal el estudio de los vectores y sus características, propiedades y aplicaciones. La perpendicularidad entre vectores es una de esas características estudiadas que no es tan complicada como parece. ¿Cómo saber si dos Vectores son Perpendiculares? Presta atención y notarás que es sencillo.

Para saber si dos vectores son perpendiculares o no, vamos a repasar primero el concepto de perpendicularidad para saber cómo aplicarla a los vectores. La Perpendicularidad existe cuando dos líneas en un plano o en el espacio, se interceptan y forman un ángulo de 90 grados.

Dicho de otra manera, dos líneas que forman ángulos de 90 grados, se consideran perpendiculares. Esto también es conocido como líneas ortogonales.

Cómo saber si dos Vectores son Perpendiculares

Por ejemplo, los famosos ejes “x” y “y” del sistema cartesiano, son perpendiculares entre sí, interceptándose en el punto 0.

Si aplicamos esto a dos vectores, podemos decir entonces que los vectores son perpendiculares, cuando su línea de proyección se intercepta y forman un ángulo de 90 grados.

Pero… ¿Qué es un vector?

¿Qué es un Vector?

Intentando hacer la explicación lo más sencilla posible, sin tecnicismos innecesarios, podemos decir que el vector es un tramo de recta que tiene una magnitud definida, dirección y sentido.

El ejemplo más claro es que un vector representa fielmente las características de la fuerza. Las fuerzas en nuestro mundo tienen un valor o magnitud, tienen una dirección de aplicación y tienen un sentido.

Podemos realizar una gran cantidad de cálculos de fuerzas, solo representándolas como vectores. Esto realmente es muy útil.

Su representación matemática es la siguiente:

A = (a, b)

En donde a y b son los puntos de inicio y fin del vector.

Cuando tratamos de comprender el mundo que nos rodea, nos preocupan las cantidades que denotan tanto dirección como magnitud. Y por ello la definición de vector cae como anillo al dedo para resolver muchos de estos problemas.

Porque no solamente puedes representar fuerzas. Puedes representar velocidades, pesos, desplazamientos, aceleraciones, en fin, cualquier cosa que tenga magnitud, dirección y sentido.

Los vectores pueden representarse en dos dimensiones y en tres dimensiones. O sea, en el plano o en el espacio. Dependiendo de con cual sistema se esté trabajando, el vector tendrá dos o tres componentes:

A = (x, y)

Componentes “x” y “y” para un plano cartesiano.

A = (x, y, z)

Componentes “x”, “y” y “z” para una representación en tres ejes.

Teniendo los valores de sus componentes, podemos saber la magnitud de un vector. Y al tener magnitud, inicio y fin, tienes todos los datos necesarios.

Cómo saber si dos Vectores son Perpendiculares

¿Qué son vectores perpendiculares?

Tomando como referencia el concepto de perpendicularidad que vimos arriba, podemos decir que dos vectores perpendiculares pueden estar en la proyección de dos rectas perpendiculares.

Son vectores que, si los hacemos coincidir con el mismo origen, producen un ángulo de 90 grados, creando un segmento de plano ortogonal.

Y esta definición es aplicable tanto en el plano como en el espacio. La definición es sencilla y muy clara.

Los vectores perpendiculares se denotan de la siguiente manera:

A ⊥ B

Esto significa “Vector A es perpendicular al Vector B”

Como reconocer dos vectores perpendiculares

Matemáticamente hablando, podemos reconocer dos vectores perpendiculares por su producto escalar. El producto escalar es el resultado de multiplicar cada componente de los vectores y luego sumarlos.

Si el producto escalar da como resultado 0, los vectores son perpendiculares. Esto viene dado porque el ángulo entre los vectores es 90 grados y el Cos90º es cero. No profundizaremos en esto para no alargar el tema.

Lo que sí debe quedar claro, es que el producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre debe dar 0. Esto se expresa de la manera siguiente:

A ⊥ B entonces A · B = AxBx + AyBy + AzBz = 0

Cómo saber si dos Vectores son Perpendiculares

Ejemplos de Vectores Perpendiculares

Te vamos a dar algunos ejemplos de vectores perpendiculares y cómo reconocerlos.

Ejemplo 1:

  A = (2 ,7) ⊥ C = (-7 ,2)

Los vectores A y C son perpendiculares entre sí, formando un ángulo de 90 grados. Lo comprobamos de la siguiente manera:

A · C = AxCx + AyCy

A · C = 2(-7) + (7 . 2)

A · C = -14 + 14

A · C = 0

Son dos vectores, uno ubicado en el primer cuadrante y el otro ubicado en el segundo cuadrante, que generan un ángulo de 90 grados. Son perpendiculares.

Ejemplo 2:

  A = (-5,-3) ⊥ C = (6,-10)

Los vectores A y C son perpendiculares entre sí, formando un ángulo de 90 grados. Lo comprobamos de la siguiente manera:

A · C = AxCx + AyCy

A · C = (-5).6 + (-3).(-10)

A · C = -30 + 30

A · C = 0

Son dos vectores, uno ubicado en el tercer cuadrante y el otro ubicado en el cuarto cuadrante, que generan un ángulo de 90 grados. Son perpendiculares.

Ejemplo 3:

 A = (4, 0) ⊥ C = (0, -1)

Los vectores A y C son perpendiculares entre sí, formando un ángulo de 90 grados. Lo comprobamos de la siguiente manera:

A · C = AxCx + AyCy

A · C = 4 . 0 + (0 .(-1))

A · C = 0 – 0

A · C = 0

Son dos vectores, uno ubicado en el eje de las “x” lado positivo, y el otro ubicado en el eje de las “y” lado negativo, que generan un ángulo de 90 grados. Son perpendiculares.

Siempre ten presente que, si son perpendiculares, esta multiplicación debe dar como resultado 0. Si da cualquier otro número, no son perpendiculares. Los ejemplos te los dimos con vectores en un plano, pero esta misma propiedad y la comprobación es aplicable para vectores en el espacio.

Para cerrar

Realmente no es tan complicado, la comprobación es simple, y solo debes identificar bien cada componente del vector y respetar los signos. El cálculo vectorial es la base para la mayoría de las ingenierías y es un gran aporte para la comprensión de muchas condiciones y acciones físicas.

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